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BRABU Semester 1 Mathematics MJC-1 Unit 1: 100 Objective Questions | Real & Complex Number System & Series
1. What is the polar form of a complex number z = x + iy?
सम्मिश्र संख्या z = x + iy का ध्रुवीय रूप क्या है?
A. z = r(cos θ + i sin θ) — z = r(cos θ + i sin θ)
B. z = r(cos θ − i sin θ) — z = r(cos θ − i sin θ)
C. z = r(sin θ + i cos θ) — z = r(sin θ + i cos θ)
D. z = r(cot θ + i tan θ) — z = r(cot θ + i tan θ)
Answer: A. z = r(cos θ + i sin θ) — उत्तर: A. z = r(cos θ + i sin θ)
2. If z = x + iy, what is the modulus of z?
यदि z = x + iy है, तो z का मापांक (modulus) क्या होगा?
A. |z| = x + y — |z| = x + y
B. |z| = √(x2 + y2) — |z| = √(x2 + y2)
C. |z| = x2 + y2 — |z| = x2 + y2
D. |z| = √(x + y) — |z| = √(x + y)
Answer: B. √(x2 + y2) — उत्तर: B. √(x2 + y2)
3. If z = r(cos θ + i sin θ), then θ is called the ______ of z.
यदि z = r(cos θ + i sin θ) है, तो θ को z का ______ कहते हैं।
A. Modulus — मापांक
B. Conjugate — संयुग्मी
C. Amplitude — आयाम
D. Argument — आर्गुमेंट / कोणांक
Answer: D. Argument — उत्तर: D. Argument (कोणांक)
4. According to De-Moivre's theorem, (cos θ + i sin θ)n is equal to:
De-Moivre के प्रमेय के अनुसार (cos θ + i sin θ)n किसके बराबर है?
A. cos n + i sin n — cos n + i sin n
B. cos θ + i sin θ — cos θ + i sin θ
C. cos nθ − i sin nθ — cos nθ − i sin nθ
D. cos nθ + i sin nθ — cos nθ + i sin nθ
Answer: D. cos nθ + i sin nθ — उत्तर: D. cos nθ + i sin nθ
5. Using De-Moivre's theorem, (cos θ + i sin θ)2 is:
De-Moivre के प्रमेय का प्रयोग करने पर (cos θ + i sin θ)2 क्या होगा?
A. cos θ + i sin θ — cos θ + i sin θ
B. cos 2θ + i sin 2θ — cos 2θ + i sin 2θ
C. cos 2θ − i sin 2θ — cos 2θ − i sin 2θ
D. cos θ + i sin 2θ — cos θ + i sin 2θ
Answer: B. cos 2θ + i sin 2θ — उत्तर: B. cos 2θ + i sin 2θ
6. The cube roots of unity are the roots of which equation?
एकता के घनमूल (cube roots of unity) किस समीकरण के मूल हैं?
A. z3 − 1 = 0 — z3 − 1 = 0
B. z2 − 1 = 0 — z2 − 1 = 0
C. z3 + 1 = 0 — z3 + 1 = 0
D. z3 − z = 0 — z3 − z = 0
Answer: A. z3 − 1 = 0 — उत्तर: A. z3 − 1 = 0
7. What is the value of (cos θ + i sin θ)0?
(cos θ + i sin θ)0 का मान क्या है?
A. 0 — 0
B. −1 — −1
C. 1 — 1
D. i — i
Answer: C. 1 — उत्तर: C. 1
8. If z = r(cos θ + i sin θ), then zn is equal to:
यदि z = r(cos θ + i sin θ) है, तो zn किसके बराबर होगा?
A. r(cos nθ + i sin nθ) — r(cos nθ + i sin nθ)
B. rn(cos θ + i sin θ) — rn(cos θ + i sin θ)
C. rn(cos nθ − i sin nθ) — rn(cos nθ − i sin nθ)
D. rn(cos nθ + i sin nθ) — rn(cos nθ + i sin nθ)
Answer: D. rn(cos nθ + i sin nθ) — उत्तर: D. rn(cos nθ + i sin nθ)
9. Which of the following is the definition of sinh x?
निम्नलिखित में से sinh x की परिभाषा कौन-सी है?
A. sinh x = (ex + e−x)/2 — sinh x = (ex + e−x)/2
B. sinh x = (ex − e−x)/2 — sinh x = (ex − e−x)/2
C. sinh x = ex − 1 — sinh x = ex − 1
D. sinh x = ex + 1 — sinh x = ex + 1
Answer: B. sinh x = (ex − e−x)/2 — उत्तर: B. sinh x = (ex − e−x)/2
10. Which identity is correct for hyperbolic functions?
Hyperbolic functions के लिए निम्नलिखित में से कौन-सी सर्वसमिका सही है?
A. cosh2x + sinh2x = 1 — cosh2x + sinh2x = 1
B. cosh2x − sinh2x = −1 — cosh2x − sinh2x = −1
C. cosh2x − sinh2x = 1 — cosh2x − sinh2x = 1
D. cosh x + sinh x = 1 — cosh x + sinh x = 1
Answer: C. cosh2x − sinh2x = 1 — उत्तर: C. cosh2x − sinh2x = 1
11. What is the value of tanh x in terms of ex and e−x?
ex और e−x के पदों में tanh x का मान क्या है?
A. (ex − e−x)/(ex + e−x) — (ex − e−x)/(ex + e−x)
B. (ex + e−x)/(ex − e−x) — (ex + e−x)/(ex − e−x)
C. ex − e−x — ex − e−x
D. ex + e−x — ex + e−x
Answer: A. (ex − e−x)/(ex + e−x) — उत्तर: A. (ex − e−x)/(ex + e−x)
12. The Gregory series for arctan x is:
arctan x के लिए Gregory series कौन-सी है?
A. x + x2/2 + x3/3 + ... — x + x2/2 + x3/3 + ...
B. x − x2/2 + x3/3 − ... — x − x2/2 + x3/3 − ...
C. x − x3/3 + x5/5 − x7/7 + ... — x − x3/3 + x5/5 − x7/7 + ...
D. 1 + x + x2 + x3 + ... — 1 + x + x2 + x3 + ...
Answer: C. x − x3/3 + x5/5 − x7/7 + ... — उत्तर: C. x − x3/3 + x5/5 − x7/7 + ...
13. According to Gregory's series, arctan(1) is equal to:
Gregory series के अनुसार arctan(1) का मान क्या है?
A. π/4 — π/4
B. π/2 — π/2
C. π/3 — π/3
D. π — π
Answer: A. π/4 — उत्तर: A. π/4
14. For |x| < 1, which series represents log((1 + x)/(1 − x))?
|x| < 1 के लिए log((1 + x)/(1 − x)) को कौन-सी श्रेणी दर्शाती है?
A. 2(x + x3/3 + x5/5 + ...) — 2(x + x3/3 + x5/5 + ...)
B. x + x2/2 + x3/3 + ... — x + x2/2 + x3/3 + ...
C. 1 + x + x2 + ... — 1 + x + x2 + ...
D. 2(x − x3/3 + x5/5 − ...) — 2(x − x3/3 + x5/5 − ...)
Answer:A. 2(x + x3/3 + x5/5 + ...) — 2(x + x3/3 + x5/5 + ...)— उत्तर: D2(x + x3/3 + x5/5 + ...) — 2(x + x3/3 + x5/5 + ...)
15. What is the sum of the infinite geometric series 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...?
अनंत गुणोत्तर श्रेणी 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... का योग क्या है?
A. 1 — 1
B. 2 — 2
C. 3 — 3
D. 4 — 4
Answer: B. 2 — उत्तर: B. 2
16. If |r| < 1, the sum of the infinite geometric series a + ar + ar2 + ... is:
यदि |r| < 1 है, तो अनंत गुणोत्तर श्रेणी a + ar + ar2 + ... का योग क्या है?
A. a/(1 − r) — a/(1 − r)
B. a/(1 + r) — a/(1 + r)
C. a(1 − r) — a(1 − r)
D. a + r — a + r
Answer: A. a/(1 − r) — उत्तर: A. a/(1 − r)
17. What is the sum of the series 1 + 2 + 3 + ... + n?
श्रेणी 1 + 2 + 3 + ... + n का योग क्या है?
A. n(n − 1)/2 — n(n − 1)/2
B. n2/2 — n2/2
C. n(n + 1)/2 — n(n + 1)/2
D. n(n + 2)/2 — n(n + 2)/2
Answer: C. n(n + 1)/2 — उत्तर: C. n(n + 1)/2
18. Which is the correct factorization of x4 − 1?
x4 − 1 का सही गुणनखंडन कौन-सा है?
A. (x − 1)(x3 + 1) — (x − 1)(x3 + 1)
B. (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) — (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
C. (x − 1)2(x + 1)2 — (x − 1)2(x + 1)2
D. (x + 1)(x3 − 1) — (x + 1)(x3 − 1)
Answer: B. (x − 1)(x + 1)(x2 + 1) — उत्तर: B. (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
19. The expression a4 + 4b4 can be resolved into factors using which identity?
व्यंजक a4 + 4b4 को किस सर्वसमिका की सहायता से गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है?
A. Difference of cubes — घनों का अंतर
B. Difference of squares — वर्गों का अंतर
C. Sum of cubes — घनों का योग
D. Sophie Germain identity — सोफी जर्मेन सर्वसमिका
Answer: D. Sophie Germain identity — उत्तर: D. Sophie Germain identity (सोफी जर्मेन सर्वसमिका)
20. Which is the correct factorization of x4 + x2 + 1?
x4 + x2 + 1 का सही गुणनखंडन कौन-सा है?
A. (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) — (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
B. (x2 + 1)(x2 − 1) — (x2 + 1)(x2 − 1)
C. (x + 1)2(x − 1)2 — (x + 1)2(x − 1)2
D. (x2 + x − 1)(x2 − x − 1) — (x2 + x − 1)(x2 − x − 1)
Answer: A. (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) — उत्तर: A. (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
21. If z = 3 + 4i, what is the modulus of z?
यदि z = 3 + 4i है, तो z का मापांक (modulus) क्या है?
A. 3 — 3
B. 4 — 4
C. 7 — 7
D. 5 — 5
Answer: D. 5 — उत्तर: D. 5
22. What is the argument of the complex number 1 + i?
सम्मिश्र संख्या 1 + i का आर्गुमेंट (argument) क्या है?
A. π/4 — π/4
B. π/2 — π/2
C. π/3 — π/3
D. π — π
Answer: A. π/4 — उत्तर: A. π/4
23. In the polar form z = r(cos θ + i sin θ), what does r represent?
ध्रुवीय रूप z = r(cos θ + i sin θ) में r क्या दर्शाता है?
A. Argument — आर्गुमेंट
B. Modulus — मापांक
C. Imaginary part — काल्पनिक भाग
D. Real part — वास्तविक भाग
Answer: B. Modulus — उत्तर: B. मापांक
24. What is the polar form of −1 + i?
−1 + i का ध्रुवीय रूप क्या है?
A. √2(cos π/4 + i sin π/4) — √2(cos π/4 + i sin π/4)
B. √2(cos π/2 + i sin π/2) — √2(cos π/2 + i sin π/2)
C. √2(cos 3π/4 + i sin 3π/4) — √2(cos 3π/4 + i sin 3π/4)
D. 2(cos 3π/4 + i sin 3π/4) — 2(cos 3π/4 + i sin 3π/4)
Answer: C. √2(cos 3π/4 + i sin 3π/4) — उत्तर: C. √2(cos 3π/4 + i sin 3π/4)
25. According to De-Moivre's theorem, (cos θ − i sin θ)n is equal to:
De-Moivre के प्रमेय के अनुसार (cos θ − i sin θ)n किसके बराबर है?
A. cos nθ + i sin nθ — cos nθ + i sin nθ
B. cos nθ − i sin nθ — cos nθ − i sin nθ
C. cos θ − i sin θ — cos θ − i sin θ
D. cos n + i sin n — cos n + i sin n
Answer: B. cos nθ − i sin nθ — उत्तर: B. cos nθ − i sin nθ
26. What is the value of i4?
i4 का मान क्या है?
A. −1 — −1
B. i — i
C. 1 — 1
D. −i — −i
Answer: C. 1 — उत्तर: C. 1
27. The n-th roots of unity are given by which expression?
एकता के n-th roots किस व्यंजक द्वारा दिए जाते हैं?
A. cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) — cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
B. cos(kπ/n) + i sin(kπ/n) — cos(kπ/n) + i sin(kπ/n)
C. cos(kπ) + i sin(kπ) — cos(kπ) + i sin(kπ)
D. cos(2kπ) + i sin(2kπ) — cos(2kπ) + i sin(2kπ)
Answer: A. cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) — उत्तर: A. cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
28. What is the value of cosh 0?
cosh 0 का मान क्या है?
A. 0 — 0
B. 1 — 1
C. −1 — −1
D. ∞ — ∞
Answer: B. 1 — उत्तर: B. 1
29. Which of the following is an even function?
निम्नलिखित में से कौन-सा एक सम फलन (even function) है?
A. sinh x — sinh x
B. tanh x — tanh x
C. cosh x — cosh x
D. x — x
Answer: C. cosh x — उत्तर: C. cosh x
30. Which of the following is an odd function?
निम्नलिखित में से कौन-सा एक विषम फलन (odd function) है?
A. cosh x — cosh x
B. sinh x — sinh x
C. cos x — cos x
D. x2 — x2
Answer: B. sinh x — उत्तर: B. sinh x
31. What is the value of tanh 0?
tanh 0 का मान क्या है?
A. 0 — 0
B. 1 — 1
C. −1 — −1
D. 2 — 2
Answer: A. 0 — उत्तर: A. 0
32. What is the derivative of sinh x?
sinh x का अवकलज (derivative) क्या है?
A. −cosh x — −cosh x
B. sinh x — sinh x
C. cosh x — cosh x
D. tanh x — tanh x
Answer: C. cosh x — उत्तर: C. cosh x
33. The Gregory series for arctan x converges for which condition?
arctan x की Gregory series किस शर्त के लिए अभिसारी (convergent) है?
A. |x| > 1 — |x| > 1
B. |x| < 1 — |x| < 1
C. x > 1 — x > 1
D. x < −1 — x < −1
Answer: B. |x| < 1 — उत्तर: B. |x| < 1
34. What is the first term of the Gregory series for arctan x?
arctan x की Gregory series का प्रथम पद क्या है?
A. x — x
B. x2/2 — x2/2
C. x3/3 — x3/3
D. 1 — 1
Answer: A. x — उत्तर: A. x
35. What is the sum of the first n odd positive integers?
प्रथम n विषम धनात्मक पूर्णांकों का योग क्या है?
A. n(n + 1) — n(n + 1)
B. n(n − 1) — n(n − 1)
C. n2 — n2
D. 2n2 — 2n2
Answer: C. n2 — उत्तर: C. n2
36. What is the sum of the first n even positive integers?
प्रथम n सम धनात्मक पूर्णांकों का योग क्या है?
A. n2 — n2
B. n(n + 1) — n(n + 1)
C. n(n − 1) — n(n − 1)
D. 2n − 1 — 2n − 1
Answer: B. n(n + 1) — उत्तर: B. n(n + 1)
37. Which of the following is a factor of x3 − 8?
निम्नलिखित में से कौन x3 − 8 का एक गुणनखंड है?
A. x − 2 — x − 2
B. x + 2 — x + 2
C. x − 4 — x − 4
D. x + 4 — x + 4
Answer: A. x − 2 — उत्तर: A. x − 2
38. Which formula represents the sum of cubes a3 + b3?
घनों के योग a3 + b3 का सही सूत्र कौन-सा है?
A. (a + b)(a2 + ab + b2) — (a + b)(a2 + ab + b2)
B. (a − b)(a2 + ab + b2) — (a − b)(a2 + ab + b2)
C. (a + b)(a2 − ab + b2) — (a + b)(a2 − ab + b2)
D. (a − b)(a2 − ab + b2) — (a − b)(a2 − ab + b2)
Answer: C. (a + b)(a2 − ab + b2) — उत्तर: C. (a + b)(a2 − ab + b2)
39. Which of the following is the factorization of a3 − b3?
a3 − b3 का सही गुणनखंडन कौन-सा है?
A. (a + b)(a2 − ab + b2) — (a + b)(a2 − ab + b2)
B. (a − b)(a2 + ab + b2) — (a − b)(a2 + ab + b2)
C. (a + b)(a2 + ab + b2) — (a + b)(a2 + ab + b2)
D. (a − b)(a2 − ab + b2) — (a − b)(a2 − ab + b2)
Answer: B. (a − b)(a2 + ab + b2) — उत्तर: B. (a − b)(a2 + ab + b2)
40. Which expression is equal to 1 + x + x2 + ... + xn, for x ≠ 1?
x ≠ 1 के लिए 1 + x + x2 + ... + xn किसके बराबर है?
A. (1 − xn)/(1 − x) — (1 − xn)/(1 − x)
B. (1 + xn)/(1 + x) — (1 + xn)/(1 + x)
C. (1 − xn+1)/(1 − x) — (1 − xn+1)/(1 − x)
D. (xn+1 − 1)/(x + 1) — (xn+1 − 1)/(x + 1)
Answer: C. (1 − xn+1)/(1 − x) — उत्तर: C. (1 − xn+1)/(1 − x)
41. If z = r(cos θ + i sin θ), then the conjugate of z is:
यदि z = r(cos θ + i sin θ) है, तो z का संयुग्मी (conjugate) क्या होगा?
A. r(cos θ + i sin θ) — r(cos θ + i sin θ)
B. r(cos θ − i sin θ) — r(cos θ − i sin θ)
C. −r(cos θ + i sin θ) — −r(cos θ + i sin θ)
D. r(sin θ − i cos θ) — r(sin θ − i cos θ)
Answer: B. r(cos θ − i sin θ) — उत्तर: B. r(cos θ − i sin θ)
42. If z = reiθ, then the principal value of log z is:
यदि z = reiθ है, तो log z का principal value क्या है?
A. log r + iθ — log r + iθ
B. r + iθ — r + iθ
C. log r − θ — log r − θ
D. r(log θ + i) — r(log θ + i)
Answer: A. log r + iθ — उत्तर: A. log r + iθ
43. The general value of the logarithm of a non-zero complex number z = reiθ is:
अशून्य सम्मिश्र संख्या z = reiθ के logarithm का general value क्या है?
A. log r + iθ — log r + iθ
B. log r + i(θ + 2nπ), n ∈ Z — log r + i(θ + 2nπ), n ∈ Z
C. r + i(θ + nπ) — r + i(θ + nπ)
D. log θ + ir — log θ + ir
Answer: B. log r + i(θ + 2nπ), n ∈ Z — उत्तर: B. log r + i(θ + 2nπ), n ∈ Z
44. What is the value of log i in its general form?
log i का general form में मान क्या है?
A. iπ/2 + 2nπi — iπ/2 + 2nπi
B. π/2 + ni — π/2 + ni
C. iπ/2 + 2nπ — iπ/2 + 2nπ
D. iπ + nπi — iπ + nπi
Answer: A. iπ/2 + 2nπi — उत्तर: A. iπ/2 + 2nπi
45. If z = ρ(cos θ + i sin θ), then z−n is:
यदि z = ρ(cos θ + i sin θ) है, तो z−n क्या होगा?
A. ρn(cos nθ + i sin nθ) — ρn(cos nθ + i sin nθ)
B. ρ−n(cos nθ − i sin nθ) — ρ−n(cos nθ − i sin nθ)
C. ρ−n(cos nθ + i sin nθ) — ρ−n(cos nθ + i sin nθ)
D. ρn(cos nθ − i sin nθ) — ρn(cos nθ − i sin nθ)
Answer: B. ρ−n(cos nθ − i sin nθ) — उत्तर: B. ρ−n(cos nθ − i sin nθ)
46. De-Moivre's theorem can be used to find the value of:
De-Moivre के प्रमेय का प्रयोग किसका मान ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है?
A. Powers and roots of complex numbers — सम्मिश्र संख्याओं की घात और मूल
B. Only real roots — केवल वास्तविक मूल
C. Only logarithms — केवल logarithms
D. Only matrices — केवल matrices
Answer: A. Powers and roots of complex numbers — उत्तर: A. सम्मिश्र संख्याओं की घात और मूल
47. The square roots of a complex number are obtained using:
किसी सम्मिश्र संख्या के वर्गमूल (square roots) ज्ञात करने के लिए किसका प्रयोग किया जा सकता है?
A. Binomial theorem only — केवल Binomial theorem
B. De-Moivre's theorem — De-Moivre का प्रमेय
C. Newton's law — Newton का नियम
D. Euclidean algorithm — Euclidean algorithm
Answer: B. De-Moivre's theorem — उत्तर: B. De-Moivre का प्रमेय
48. What is the value of cosh x + sinh x?
cosh x + sinh x का मान क्या है?
A. e−x — e−x
B. e2x — e2x
C. ex — ex
D. 1 — 1
Answer: C. ex — उत्तर: C. ex
49. What is the value of cosh x − sinh x?
cosh x − sinh x का मान क्या है?
A. ex — ex
B. e−x — e−x
C. e2x — e2x
D. 1/e — 1/e
Answer: B. e−x — उत्तर: B. e−x
50. Which identity is correct for tanh 2x?
tanh 2x के लिए कौन-सी सर्वसमिका सही है?
A. 2 tanh x/(1 + tanh2x) — 2 tanh x/(1 + tanh2x)
B. 2 tanh x/(1 − tanh2x) — 2 tanh x/(1 − tanh2x)
C. tanh2x/(1 + tanh x) — tanh2x/(1 + tanh x)
D. 2 tanh2x — 2 tanh2x
Answer: A. 2 tanh x/(1 + tanh2x) — उत्तर: A. 2 tanh x/(1 + tanh2x)
51. What is the value of sech 0?
sech 0 का मान क्या है?
A. 0 — 0
B. −1 — −1
C. 1 — 1
D. ∞ — ∞
Answer: C. 1 — उत्तर: C. 1
52. The Gregory series for arctan x contains only:
arctan x की Gregory series में केवल कौन-सी घातें आती हैं?
A. Even powers of x — x की सम घातें
B. Odd powers of x — x की विषम घातें
C. Negative powers of x — x की ऋणात्मक घातें
D. Constant terms only — केवल स्थिर पद
Answer: B. Odd powers of x — उत्तर: B. x की विषम घातें
53. The series 1 − 1 + 1 − 1 + ... is classified as:
श्रेणी 1 − 1 + 1 − 1 + ... किस प्रकार की श्रेणी है?
A. Convergent series — अभिसारी श्रेणी
B. Geometric series with sum 1 — 1 योग वाली गुणोत्तर श्रेणी
C. Divergent series — अपसारी श्रेणी
D. Arithmetic series — समान्तर श्रेणी
Answer: C. Divergent series — उत्तर: C. अपसारी श्रेणी
54. For an infinite geometric series to have a finite sum, the common ratio r must satisfy:
किसी अनंत गुणोत्तर श्रेणी का परिमित योग होने के लिए common ratio r को कौन-सी शर्त पूरी करनी चाहिए?
A. |r| < 1 — |r| < 1
B. |r| > 1 — |r| > 1
C. r = 1 only — केवल r = 1
D. r ≥ 1 — r ≥ 1
Answer: A. |r| < 1 — उत्तर: A. |r| < 1
55. What is the sum of the first n natural numbers squared, 12 + 22 + ... + n2?
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों 12 + 22 + ... + n2 का योग क्या है?
A. n(n + 1)/2 — n(n + 1)/2
B. n(n + 1)(2n + 1)/6 — n(n + 1)(2n + 1)/6
C. n2(n + 1)/2 — n2(n + 1)/2
D. n(n − 1)(2n + 1)/6 — n(n − 1)(2n + 1)/6
Answer: B. n(n + 1)(2n + 1)/6 — उत्तर: B. n(n + 1)(2n + 1)/6
56. Which identity is known as Sophie Germain's identity?
निम्नलिखित में से कौन-सी सर्वसमिका Sophie Germain identity कहलाती है?
A. a2 − b2 = (a − b)(a + b) — a2 − b2 = (a − b)(a + b)
B. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) — a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
C. a4 + 4b4 = (a2 − 2ab + 2b2)(a2 + 2ab + 2b2) — a4 + 4b4 = (a2 − 2ab + 2b2)(a2 + 2ab + 2b2)
D. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) — a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
Answer: C. a4 + 4b4 = (a2 − 2ab + 2b2)(a2 + 2ab + 2b2) — उत्तर: C. a4 + 4b4 = (a2 − 2ab + 2b2)(a2 + 2ab + 2b2)
57. Which factorization is correct for x4 − 16?
x4 − 16 का सही गुणनखंडन कौन-सा है?
A. (x − 2)(x + 2)(x2 + 4) — (x − 2)(x + 2)(x2 + 4)
B. (x − 4)(x + 4)(x2 + 1) — (x − 4)(x + 4)(x2 + 1)
C. (x − 2)2(x + 2)2 — (x − 2)2(x + 2)2
D. (x2 − 4)(x2 − 4) — (x2 − 4)(x2 − 4)
Answer: A. (x − 2)(x + 2)(x2 + 4) — उत्तर: A. (x − 2)(x + 2)(x2 + 4)
58. Which expression is the factorization of x4 + 4?
x4 + 4 का सही गुणनखंडन कौन-सा है?
A. (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2) — (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2)
B. (x2 + 2)(x2 − 2) — (x2 + 2)(x2 − 2)
C. (x + 2)2(x − 2)2 — (x + 2)2(x − 2)2
D. (x2 + x + 2)(x2 − x + 2) — (x2 + x + 2)(x2 − x + 2)
Answer: A. (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2) — उत्तर: A. (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2)
59. If the common ratio of a geometric series is −1/2 and its first term is 4, what is its infinite sum?
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का common ratio −1/2 और प्रथम पद 4 है, तो उसका infinite sum क्या होगा?
A. 2 — 2
B. 8/3 — 8/3
C. 4/3 — 4/3
D. 8 — 8
Answer: B. 8/3 — उत्तर: B. 8/3
60. If z = cos θ + i sin θ, what is z + z−1?
यदि z = cos θ + i sin θ है, तो z + z−1 का मान क्या होगा?
A. 2 sin θ — 2 sin θ
B. 2i sin θ — 2i sin θ
C. 2 cos θ — 2 cos θ
D. cos 2θ — cos 2θ
Answer: C. 2 cos θ — उत्तर: C. 2 cos θ
61. If z = x + iy, then |z| is equal to:
यदि z = x + iy है, तो |z| किसके बराबर है?
A. x + y — x + y
B. √(x² + y²) — √(x² + y²)
C. x² + y² — x² + y²
D. x − y — x − y
Answer: B. √(x² + y²) — उत्तर: B. √(x² + y²)
62. If z = x + iy, then z z̄ is equal to:
यदि z = x + iy है, तो z z̄ किसके बराबर होगा?
A. x² + y² — x² + y²
B. x² − y² — x² − y²
C. 2xy — 2xy
D. x + y — x + y
Answer: A. x² + y² — उत्तर: A. x² + y²
63. The modulus of the product of two complex numbers z₁ and z₂ is:
दो सम्मिश्र संख्याओं z₁ और z₂ के गुणनफल का modulus क्या होता है?
A. |z₁| + |z₂| — |z₁| + |z₂|
B. |z₁| − |z₂| — |z₁| − |z₂|
C. |z₁||z₂| — |z₁||z₂|
D. |z₁|/|z₂| — |z₁|/|z₂|
Answer: C. |z₁||z₂| — उत्तर: C. |z₁||z₂|
64. If z is a complex number, then |z̄| is:
यदि z एक सम्मिश्र संख्या है, तो |z̄| क्या होगा?
A. −|z| — −|z|
B. |z| — |z|
C. 1/|z| — 1/|z|
D. z — z
Answer: B. |z| — उत्तर: B. |z|
65. The argument of a positive real number is:
किसी धनात्मक वास्तविक संख्या का argument क्या होता है?
A. π — π
B. π/2 — π/2
C. 0 — 0
D. −π/2 — −π/2
Answer: C. 0 — उत्तर: C. 0
66. The principal argument of a negative real number is:
किसी ऋणात्मक वास्तविक संख्या का principal argument क्या होता है?
A. 0 — 0
B. π — π
C. π/2 — π/2
D. 2π — 2π
Answer: B. π — उत्तर: B. π
67. The polar form of the complex number 1 + i is:
सम्मिश्र संख्या 1 + i का polar form क्या है?
A. √2(cos π/4 + i sin π/4) — √2(cos π/4 + i sin π/4)
B. 2(cos π/2 + i sin π/2) — 2(cos π/2 + i sin π/2)
C. √2(cos π/2 + i sin π/2) — √2(cos π/2 + i sin π/2)
D. cos π/4 + i sin π/4 — cos π/4 + i sin π/4
Answer: A. √2(cos π/4 + i sin π/4) — उत्तर: A. √2(cos π/4 + i sin π/4)
68. What is the value of i4?
i4 का मान क्या है?
A. −1 — −1
B. i — i
C. 1 — 1
D. −i — −i
Answer: C. 1 — उत्तर: C. 1
69. The reciprocal of i is:
i का reciprocal (व्युत्क्रम) क्या है?
A. i — i
B. −i — −i
C. 1 — 1
D. −1 — −1
Answer: B. −i — उत्तर: B. −i
70. Which of the following is a purely imaginary number?
निम्नलिखित में से कौन-सी purely imaginary संख्या है?
A. 3 + 2i — 3 + 2i
B. 5 — 5
C. 4i — 4i
D. 2 + i — 2 + i
Answer: C. 4i — उत्तर: C. 4i
71. If z is both real and purely imaginary, then z is:
यदि z वास्तविक और purely imaginary दोनों है, तो z क्या होगा?
A. 1 — 1
B. −1 — −1
C. i — i
D. 0 — 0
Answer: D. 0 — उत्तर: D. 0
72. If z₁ = 2 + 3i and z₂ = 1 − i, then z₁ + z₂ is:
यदि z₁ = 2 + 3i और z₂ = 1 − i है, तो z₁ + z₂ क्या होगा?
A. 3 + 2i — 3 + 2i
B. 1 + 4i — 1 + 4i
C. 3 + 4i — 3 + 4i
D. 1 + 2i — 1 + 2i
Answer: A. 3 + 2i — उत्तर: A. 3 + 2i
73. If z₁ = 2 + 3i and z₂ = 1 − i, then z₁ − z₂ is:
यदि z₁ = 2 + 3i और z₂ = 1 − i है, तो z₁ − z₂ क्या होगा?
A. 1 + 2i — 1 + 2i
B. 3 + 2i — 3 + 2i
C. 1 + 4i — 1 + 4i
D. 3 + 4i — 3 + 4i
Answer: C. 1 + 4i — उत्तर: C. 1 + 4i
74. If z₁ = 2 + i and z₂ = 3 + 2i, then z₁z₂ is:
यदि z₁ = 2 + i और z₂ = 3 + 2i है, तो z₁z₂ क्या होगा?
A. 4 + 7i — 4 + 7i
B. 6 + 4i — 6 + 4i
C. 5 + 7i — 5 + 7i
D. 4 + 4i — 4 + 4i
Answer: A. 4 + 7i — उत्तर: A. 4 + 7i
75. The real part of the complex number 5 − 7i is:
सम्मिश्र संख्या 5 − 7i का real part क्या है?
A. −7 — −7
B. 7 — 7
C. 5 — 5
D. 5i — 5i
Answer: C. 5 — उत्तर: C. 5
76. The imaginary part of 5 − 7i is:
5 − 7i का imaginary part क्या है?
A. 5 — 5
B. −7 — −7
C. 7i — 7i
D. −7i — −7i
Answer: B. −7 — उत्तर: B. −7
77. If z + z̄ = 10, then Re(z) is:
यदि z + z̄ = 10 है, तो Re(z) का मान क्या है?
A. 10 — 10
B. 2 — 2
C. 5 — 5
D. 20 — 20
Answer: C. 5 — उत्तर: C. 5
78. If z − z̄ = 8i, then Im(z) is:
यदि z − z̄ = 8i है, तो Im(z) का मान क्या है?
A. 4 — 4
B. 8 — 8
C. −4 — −4
D. 2 — 2
Answer: A. 4 — उत्तर: A. 4
79. The locus represented by |z| = 1 in the complex plane is:
complex plane में |z| = 1 किस locus को प्रदर्शित करता है?
A. A straight line — एक सीधी रेखा
B. A circle with centre at origin and radius 1 — मूलबिंदु पर केंद्र और त्रिज्या 1 वाला वृत्त
C. A parabola — एक परवलय
D. An ellipse — एक दीर्घवृत्त
Answer: B. A circle with centre at origin and radius 1 — उत्तर: B. मूलबिंदु पर केंद्र और त्रिज्या 1 वाला वृत्त
80. The locus represented by |z − 2| = 3 is:
|z − 2| = 3 द्वारा प्रदर्शित locus क्या है?
A. A circle with centre 2 and radius 3 — केंद्र 2 और त्रिज्या 3 वाला वृत्त
B. A circle with centre 3 and radius 2 — केंद्र 3 और त्रिज्या 2 वाला वृत्त
C. A straight line — एक सीधी रेखा
D. A parabola — एक परवलय
Answer: A. A circle with centre 2 and radius 3 — उत्तर: A. केंद्र 2 और त्रिज्या 3 वाला वृत्त
81. If z = r(cos θ + i sin θ), then the argument of z is:
यदि z = r(cos θ + i sin θ) है, तो z का आर्गुमेंट है:
A. r — r
B. θ — θ
C. cos θ — cos θ
D. sin θ — sin θ
Answer: B. θ — उत्तर: θ
82. The modulus of 3 + 4i is:
3 + 4i का मॉड्यूलस है:
A. 4 — 4
B. 3 — 3
C. 7 — 7
D. 5 — 5
Answer: D. 5 — उत्तर: D. 5
83. The conjugate of 5 − 7i is:
5 − 7i का कॉन्जुगेट है:
A. 5 + 7i — 5 + 7i
B. −5 + 7i — −5 + 7i
C. 5 − 7i — 5 − 7i
D. −5 − 7i — −5 − 7i
Answer: A. 5 + 7i — उत्तर: A. 5 + 7i
84. If z = 2(cos π/3 + i sin π/3), then z² is:
यदि z = 2(cos π/3 + i sin π/3) है, तो z² है:
A. 2(cos 2π/3 + i sin 2π/3) — 2(cos 2π/3 + i sin 2π/3)
B. 4(cos 2π/3 + i sin 2π/3) — 4(cos 2π/3 + i sin 2π/3)
C. 4(cos π/3 + i sin π/3) — 4(cos π/3 + i sin π/3)
D. 4(cos 3π + i sin 3π) — 4(cos 3π + i sin 3π)
Answer: B. 4(cos 2π/3 + i sin 2π/3) — उत्तर: B. 4(cos 2π/3 + i sin 2π/3)
85. The value of cosh²x − sinh²x is:
cosh²x − sinh²x का मान है:
A. 0 — 0
B. sinh x — sinh x
C. 1 — 1
D. cosh x — cosh x
Answer: C. 1 — उत्तर: C. 1
86. The derivative of sinh x is:
sinh x का अवकलज है:
A. cosh x — cosh x
B. −cosh x — −cosh x
C. sinh x — sinh x
D. −sinh x — −sinh x
Answer: A. cosh x — उत्तर: A. cosh x
87. The derivative of cosh x is:
cosh x का अवकलज है:
A. −sinh x — −sinh x
B. cosh x — cosh x
C. −cosh x — −cosh x
D. sinh x — sinh x
Answer: D. sinh x — उत्तर: D. sinh x
88. The identity for tanh x is:
tanh x का सूत्र है:
A. cosh x/sinh x — cosh x/sinh x
B. sinh x/cosh x — sinh x/cosh x
C. sinh x − cosh x — sinh x − cosh x
D. sinh x + cosh x — sinh x + cosh x
Answer: B. sinh x/cosh x — उत्तर: B. sinh x/cosh x
89. The value of sinh 0 is:
sinh 0 का मान है:
A. 1 — 1
B. −1 — −1
C. 0 — 0
D. 2 — 2
Answer: C. 0 — उत्तर: C. 0
90. The value of cosh 0 is:
cosh 0 का मान है:
A. 1 — 1
B. 0 — 0
C. −1 — −1
D. 2 — 2
Answer: A. 1 — उत्तर: A. 1
91. According to De Moivre's theorem, (cos θ + i sin θ)n equals:
De Moivre प्रमेय के अनुसार (cos θ + i sin θ)n का मान है:
A. cos nθ − i sin nθ — cos nθ − i sin nθ
B. n(cos θ + i sin θ) — n(cos θ + i sin θ)
C. cos θ + i sin nθ — cos θ + i sin nθ
D. cos nθ + i sin nθ — cos nθ + i sin nθ
Answer: D. cos nθ + i sin nθ — उत्तर: D. cos nθ + i sin nθ
92. The fourth roots of unity are the roots of:
चौथे एकता मूल किस समीकरण के मूल हैं?
A. z2 − 1 = 0 — z2 − 1 = 0
B. z4 − 1 = 0 — z4 − 1 = 0
C. z4 + 1 = 0 — z4 + 1 = 0
D. z3 − 1 = 0 — z3 − 1 = 0
Answer: B. z4 − 1 = 0 — उत्तर: B. z4 − 1 = 0
93. The cube roots of unity satisfy:
घन एकता मूल निम्न में से किसे संतुष्ट करते हैं?
A. z3 + 1 = 0 — z3 + 1 = 0
B. z2 + z + 1 = 0 — z2 + z + 1 = 0
C. z3 − 1 = 0 — z3 − 1 = 0
D. z2 − z + 1 = 0 — z2 − z + 1 = 0
Answer: C. z3 − 1 = 0 — उत्तर: C. z3 − 1 = 0
94. If ω is a non-real cube root of unity, then 1 + ω + ω2 equals:
यदि ω एक गैर-वास्तविक घन एकता मूल है, तो 1 + ω + ω2 का मान है:
A. 1 — 1
B. −1 — −1
C. 2 — 2
D. 0 — 0
Answer: D. 0 — उत्तर: D. 0
95. If ω is a cube root of unity other than 1, then ω3 is:
यदि ω, 1 के अलावा एक घन एकता मूल है, तो ω3 है:
A. 1 — 1
B. ω — ω
C. −1 — −1
D. 0 — 0
Answer: A. 1 — उत्तर: A. 1
96. The sum of the first n natural numbers is:
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
A. n2 — n2
B. n(n + 1)/2 — n(n + 1)/2
C. n(n − 1)/2 — n(n − 1)/2
D. n(n + 2)/2 — n(n + 2)/2
Answer: B. n(n + 1)/2 — उत्तर: B. n(n + 1)/2
97. The sum of the first n odd natural numbers is:
प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग है:
A. n2 — n2
B. n(n + 1) — n(n + 1)
C. 2n2 — 2n2
D. n(n − 1) — n(n − 1)
Answer: A. n2 — उत्तर: A. n2
98. The sum 1 + x + x2 + ... + xn is:
1 + x + x2 + ... + xn का योग है:
A. (xn − 1)/(x − 1) — (xn − 1)/(x − 1)
B. (xn+1 − 1)/(x − 1) — (xn+1 − 1)/(x − 1)
C. (x − 1)/(xn+1 − 1) — (x − 1)/(xn+1 − 1)
D. xn + 1 — xn + 1
Answer: B. (xn+1 − 1)/(x − 1) — उत्तर: B. (xn+1 − 1)/(x − 1)
99. The infinite geometric series 1 + r + r2 + ... converges when:
अनंत गुणोत्तर श्रेणी 1 + r + r2 + ... कब अभिसारी होती है?
A. |r| > 1 — |r| > 1
B. |r| = 1 — |r| = 1
C. |r| < 1 — |r| < 1
D. r > 1 — r > 1
Answer: C. |r| < 1 — उत्तर: C. |r| < 1
100. The factorization of x3 − 8 is:
x3 − 8 का गुणनखंडन है:
A. (x − 2)(x2 + 2x + 4) — (x − 2)(x2 + 2x + 4)
B. (x + 2)(x2 − 2x + 4) — (x + 2)(x2 − 2x + 4)
C. (x − 2)(x2 − 2x + 4) — (x − 2)(x2 − 2x + 4)
D. (x + 2)(x2 + 2x + 4) — (x + 2)(x2 + 2x + 4)
Answer: C. (x − 2)(x2 − 2x + 4) — उत्तर: C. (x − 2)(x2 − 2x + 4)
B.Sc Semester 1 Mathematics – MJC-1
Unit 1 – Real & Complex Number System and Series
100 VVI Objective Questions • Exam Oriented
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